Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( P \), ta cần xác định các giá trị của \( x \) khiến cho mẫu số trong các phân thức bằng 0.

Cho biểu thức:

\[
P = \frac{1}{x+5} + \frac{2}{x-5} - \frac{2x+10}{(x+5)(x-5)}
\]

### Bước 1: Tìm điều kiện xác định của \( P \)

1. **Phân thức đầu tiên:**
- Mẫu số là \( x + 5 \).
- Điều kiện: \( x + 5 \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq -5\).

2. **Phân thức thứ hai:**
- Mẫu số là \( x - 5 \).
- Điều kiện: \( x - 5 \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq 5\).

3. **Phân thức thứ ba:**
- Mẫu số là \( (x + 5)(x - 5) \).
- Điều kiện: \( (x + 5)(x - 5) \neq 0 \), tức là:
- \( x \neq -5 \)
- \( x \neq 5 \)

### Tổng hợp các điều kiện:

Vậy điều kiện xác định của \( P \) là:
\[
x \neq -5 \quad \text{và} \quad x \neq 5
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( P \)

Để rút gọn, ta quy đồng các phân thức lại với nhau:

\[
P = \frac{1}{x+5} + \frac{2}{x-5} - \frac{2x+10}{(x+5)(x-5)}
\]

Quy đồng ba phân thức:
\[
P = \frac{(x-5) + 2(x+5) - (2x + 10)}{(x+5)(x-5)}
\]

Tính tử số:
- Tử số là \( (x - 5) + 2(x + 5) - (2x + 10) = x - 5 + 2x + 10 - 2x - 10 = x - 5 \).

Vậy ta có:
\[
P = \frac{x - 5}{(x+5)(x-5)}
\]

Rút gọn:
\[
P = \frac{1}{x + 5} \quad \text{(với \( x \neq 5 \) và \( x \neq -5 \))}
\]

### Kết luận

1. Điều kiện xác định của \( P \): \( x \neq -5 \) và \( x \neq 5 \).
2. Biểu thức rút gọn là:
\[
P = \frac{1}{x + 5} \quad \text{(với điều kiện như trên)}.
\]