Để chứng minh \( BD \perp AC \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Kẻ đường cao**: Gọi \( H \) là hình chiếu của \( B \) lên \( AC \). Ta cần chứng minh rằng \( BD \) vuông góc với \( AC \) bằng cách chứng minh \( BH \perp AC \).

2. **Sử dụng tính đồng dạng**: Ta có \( AB = AD \) và \( BC = DC \), từ đó ta có hai tam giác:
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (c.g.k)
\]
(cạnh - góc - cạnh)

3. **Suy ra từ tính đồng dạng**: Vì hai tam giác này đồng dạng nên:
\[
\angle ABC = \angle ADC
\]
Kết hợp với \( BD \) là đường trung tuyến (hoặc kẻ từ \( B \) đến \( D \)), ta có:
\[
\angle ABD + \angle ADB = 180^\circ \quad (c.g.k)
\]

4. **Kết luận**: Như vậy, từ các mối quan hệ và tính chất tam giác, ta có thể suy ra rằng \( BD \perp AC \) khi \( BH \) là đường cao từ \( B \) đến \( AC \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( BD \perp AC \).