Để chứng minh rằng BD vuông góc với AC, ta sẽ sử dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.

Dưới đây là cách chứng minh:

1. **Gọi các góc:**
- Gọi \( \angle ABC = \alpha \) và \( \angle ADC = \beta \).

2. **Chứng minh hai tam giác đồng dạng:**
- Vì \( AB = AD \) và \( BC = DC \), ta có thể kết luận rằng:
- \( \triangle ABC \) và \( \triangle ADC \) có hai cạnh tương ứng bằng nhau (AB = AD, BC = DC) và cạnh AC chung (AC).
- Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
\[
\triangle ABC \sim \triangle ADC
\]
- Do đó, các góc tương ứng cũng bằng nhau:
\[
\angle ABC = \angle ADC
\]

3. **Chứng minh hai góc này bằng nhau sẽ dẫn đến BD vuông góc với AC:**
- Từ công nhận trên \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \), điều này cho thấy rằng:
\[
\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ
\]
- Suy ra \( \angle ABC = 90^\circ \).

4. **Kết luận:**
- Nếu \( \angle ABC = 90^\circ \), thì BD vuông góc với AC. Vậy:
\[
BD \perp AC
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng BD vuông góc với AC.