Để tính biểu thức

\[
A = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^3 - \left(\frac{3}{4}\right)^4 + \cdots - \left(\frac{3}{4}\right)^{2019} + \left(\frac{3}{4}\right)^{2020}
\]

ta có thể nhận thấy đây là một chuỗi số học với hai phần số. Ta có thể nhóm chúng lại như sau:

\[
A = 1 + \sum_{n=1}^{2020} \left((-1)^n \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)
\]

Tính các số hạng của chuỗi trên từ \(n=1\) đến \(n=2020\).

Biểu thức này tương ứng với một chuỗi hình học với \(a = \frac{3}{4}\) và công bội \(r = -\frac{3}{4}\):

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
với \(n = 2020\), \(a = \frac{3}{4}\) và \(r = -\frac{3}{4}\):

\[
S_{2020} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - (-\frac{3}{4})^{2020}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - (-\frac{3}{4})^{2020}}{\frac{7}{4}} = \frac{3}{7} \left(1 - (-\frac{3}{4})^{2020}\right)
\]

Vậy \(A\) trở thành:

\[
A = 1 + \frac{3}{7} \left(1 - (-\frac{3}{4})^{2020}\right)
\]

Tính toán lại, ta có:

\[
A = 1 + \frac{3}{7} - \frac{3}{7} \cdot (-\frac{3}{4})^{2020} = \frac{10}{7} - \frac{3}{7} \cdot (-\frac{3}{4})^{2020}
\]

Khi \(n\) tiến đến vô cực, \( (-\frac{3}{4})^{2020}\) sẽ tiến đến 0. Do đó:

\[
A = \frac{10}{7}
\]

Vậy giá trị cuối cùng của biểu thức là:

\[
\boxed{\frac{10}{7}}
\]