Bài toán này liên quan đến tam giác ABC với các điều kiện trọng tâm. Dưới đây là các chứng minh cho từng vấn đề trong bài:

**a)** Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \):

- Vì \( AB = AC \) (đề bài cho).
- \( AD \) là tia phân giác của góc \( A \) suy ra \( \angle ABD = \angle ACD \).
- \( BD = CD \) (do D là điểm chung trên đoạn BC).
- Sử dụng tiêu chí đồng nhất (Side-Angle-Side, S.A.S): \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \).

**b)** Chứng minh \( D \) là trung điểm của \( BC \):

- Từ chứng minh ở phần (a), ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) suy ra \( BD = CD \).
- Do đó, \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

**c)** Chứng minh \( AD \perp BC \):

- Từ các tam giác đồng dạng, ta có các tính chất về góc và cạnh.
- Vì \( AD \) là tia phân giác và \( BD = CD \), suy ra \( AD \) vuông góc với \( BC \).

**d)** Giả sử \( E \in AD \). Chứng minh \( \triangle EBD \cong \triangle ECD \):

- Các yếu tố cần chứng minh:
- \( ED \) là cạnh chung.
- \( AB = AC \) suy ra \( \angle EBD = \angle ECD \) (giữ các góc cạnh từ điểm \( E \) đến \( D \)).
- Theo tiêu chí S.A.S, \( \triangle EBD \cong \triangle ECD \).

**e)** Chứng minh \( \triangle ABE \cong \triangle ACE \):

- Kết hợp kết quả từ phần (d):
- \( AB = AC \), \( \angle ABE = \angle ACE \) (do \( E \) nằm trên tia phân giác \( AD \)).
- Ta cũng có \( AE \) là cạnh chung.
- Từ đó, suy ra \( \triangle ABE \cong \triangle ACE \).

Hy vọng hướng dẫn này hữu ích cho việc giải bài toán!