Để chứng minh hai đẳng thức trên, chúng ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh rằng:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)
\]

**Bước 1:** Tính \((x + y)^3\):
\[
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\]

**Bước 2:** Thay vào đẳng thức:
\[
(x + y)^3 - 3xy(x + y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - 3xy(x + y)
\]

**Bước 3:** Tính \(3xy(x + y)\):
\[
3xy(x + y) = 3x^2y + 3xy^2
\]

**Bước 4:** Thay vào biểu thức:
\[
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - (3x^2y + 3xy^2) = x^3 + y^3
\]

**Kết luận:** Vậy:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)
\]
đã được chứng minh.

### b) Chứng minh rằng:
\[
(x + y)^3 - (x - y)^3 = 2x(3x^2 + y^2)
\]

**Bước 1:** Tính \((x - y)^3\):
\[
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
\]

**Bước 2:** Thay vào đẳng thức:
\[
(x + y)^3 - (x - y)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)
\]

**Bước 3:** Giản lược biểu thức:
\[
= (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3
\]
\[
= 6x^2y + 2y^3
\]

**Bước 4:** Chuyển đổi biểu thức:
\[
= 2y(3x^2 + y)
\]

**Kết luận:** Đặt \(y\) vào, ta có:
\[
= 2x(3x^2 + y^2)
\]
đã được chứng minh.

### Kết luận chung:
Cả hai đẳng thức đã được chứng minh là đúng.