Cho đoạn thẳng AB và C thuộc cạnh AB nhưng không trùng hai đầu mút. Trên cùng một mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tam giác đều ACD và ABE

Để chứng minh được hai bài toán được đưa ra, ta sẽ phân tích và sử dụng tính chất của tam giác đều.

### a) Chứng minh \( \Delta ACE = \Delta DCB \)

1. **Tam giác đều**: Vì \( \triangle ACD \) và \( \triangle ABE \) là hai tam giác đều, nên có:
- \( AC = AD \)
- \( AB = AE \)
- Góc \( ACD = ABE = 60^\circ \)

2. **Xét các cạnh**:
- \( AE = AB \)
- \( DC = AC \)

3. **Góc**:
- Góc \( ACD = 60^\circ \)
- Góc \( DCB = 60^\circ \)

4. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng**: Từ thông tin trên, ta có:
- \( AC = DC \)
- \( AE = AB \)
- Góc \( A = B \)

=> Suy ra \( \Delta ACE \cong \Delta DCB \) (theo tiêu chí cạnh – cạnh – góc)

### b) Chứng minh \( \Delta CMN \) đều

1. **Tính chất của trung điểm**: M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD, nên:
- \( AM = ME \)
- \( BN = ND \)

2. **Xét tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACD \)**:
- \( AM = ME \), \( CN = ND \)

3. **Góc**: Từ tam giác đều, ta có góc \( ABE = 60^\circ \) và \( ACD = 60^\circ \).

4. **Suy ra**: Xét ba điểm \( C \), \( M \), \( N \):
- \( CM = CN \) (vì M và N là trung điểm, các đoạn thẳng đó chia đều)
- Góc giữa các cạnh cũng là 60 độ.

=> Do đó, \( \Delta CMN \) đều.

### Kết luận:
Hai chứng minh đã hoàn thành dựa trên tính chất của tam giác đều và tính chất của trung điểm trong hình học.