Để giải bất phương trình \((2m + 1)x - 1 - m \geq 0\) với điều kiện \(m < -\frac{1}{2}\), ta tiến hành như sau:

1. **Chuyển đổi bất phương trình**:
\[
(2m + 1)x \geq 1 + m
\]
Tương đương với
\[
x \geq \frac{1 + m}{2m + 1} \quad \text{(nếu \(2m + 1 > 0\))}
\]

Hoặc
\[
x \leq \frac{1 + m}{2m + 1} \quad \text{(nếu \(2m + 1 < 0\))}
\]

2. **Xác định giá trị của \(2m + 1\)**:
- Với \(m < -\frac{1}{2}\), ta có \(2m + 1 < 0\).

3. **Thay vào bất phương trình**:
Trong trường hợp này, bất phương trình trở thành:
\[
x \leq \frac{1 + m}{2m + 1}
\]

4. **Tìm giá trị của \(\frac{1 + m}{2m + 1}\)**:
Ta cần tính \(\frac{1 + m}{2m + 1}\) tại một giá trị cụ thể của \(m\) trong vùng xác định. Giả sử \(m = -1\):
\[
\frac{1 - 1}{2(-1) + 1} = \frac{0}{-1} = 0
\]
Ngoài ra, với \(m \to -\frac{1}{2}\), ta có:
\[
\frac{1 - \frac{1}{2}}{2(-\frac{1}{2}) + 1} \to \text{giá trị khác}
\]

5. **Giới hạn**:
Khi \(m\) tiến gần -0.5, ta thấy độ lớn của x sẽ giảm dần.

**Kết luận**:
Bất phương trình sẽ có nghiệm \(x \leq \frac{1 + m}{2m + 1}\) cho \(m < -\frac{1}{2}\), do đó các giá trị \(x\) cần được xác định theo quan hệ hàm và giới hạn của \(m\). Tùy vào giá trị cụ thể của \(m\), ta có thể xác định được khoảng nghiệm.