Cho tam giác ABC cân tại A, AM đường trung tuyến CM thuộc BC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán liên quan đến tam giác ABC cân tại A, chúng ta tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh AM vuông góc với BC

Giả sử tam giác ABC có AB = AC do nó cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, tức là BM = MC.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng đường trung tuyến AM vuông góc với cạnh BC.

Theo Định lý về trung tuyến trong tam giác, ta có:
- Kết quả: Một trung tuyến của một tam giác (được gọi là trung tuyến xuất phát từ đỉnh) chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Vì A là đỉnh của tam giác cân, M là trung điểm của BC, ta có thể xét tam giác AMB và AMC:
- Diện tích tam giác AMB bằng diện tích tam giác AMC (bởi AM là trung tuyến, M là trung điểm của BC).

Trong tam giác cân ABC, góc BAC có thể chia thành hai góc bằng nhau:
- Gọi góc BAM = góc CAM (được gọi là góc đối xứng về AM), tức là AB = AC và BM = MC.

Theo định lý Pytago:
- Ta có BM = MC, tức là AM chia đôi đoạn BC và từ đó AM vuông góc với BC.

Do đó, AM vuông góc với BC.

### b) Gọi H là trung điểm của AC và vẽ đoạn thẳng ME sao cho H là trung điểm của ME

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khi đó, chúng ta có:
- AH = HC.

Vẽ đoạn thẳng ME sao cho H là trung điểm của đoạn ME. Gọi điểm E nằm trên đường thẳng mở rộng AC.

### c) Chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

Chúng ta đã biết:
- AM = AM (cạnh chung).
- H là trung điểm của AC, nên AH = HC (tính chất của trung điểm).
- H là trung điểm của ME, nên HM = HE (cạnh đối diện).

Từ thông tin trên, chúng ta đi đến kết luận rằng các cạnh đối diện của tứ giác AMCE đều bằng nhau, cụ thể:
- AM = HC và AE = MC.

Do đó, theo định nghĩa tứ giác có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, tứ giác AMCE chính là hình bình hành.

### Kết luận
Qua các bước chứng minh trên:
- Ta đã chứng minh rằng AM vuông góc với BC.
- Ta đã chỉ ra tứ giác AMCE là hình bình hành bằng cách chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau.