Diện tích của một tam giác được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Gọi \( b \) là độ dài cạnh đáy ban đầu và \( h \) là chiều cao. Theo đề bài, ta có:

\[
S = \frac{1}{2} \times b \times h = 150 \, \text{cm}^2
\]

Khi kéo dài cạnh đáy thành cạnh mới có độ dài gấp 4 lần cạnh ban đầu, ta có:

\[
b' = 4b
\]

Chiều cao giảm đi một nửa, nghĩa là:

\[
h' = \frac{h}{2}
\]

Giờ chúng ta tính diện tích của tam giác mới, \( S' \):

\[
S' = \frac{1}{2} \times b' \times h' = \frac{1}{2} \times (4b) \times \left(\frac{h}{2}\right)
\]

Thay giá trị:

\[
S' = \frac{1}{2} \times 4b \times \frac{h}{2} = \frac{4}{2} \times \frac{b \times h}{2} = 2 \times S
\]

Với \( S = 150 \, \text{cm}^2 \):

\[
S' = 2 \times 150 = 300 \, \text{cm}^2
\]

Vậy, diện tích của tam giác mới sẽ là \( 300 \, \text{cm}^2 \).