a) Rút gọn biểu thức:

\frac{10}{\sqrt{6} - 12} - \frac{3}{\sqrt{6} - 5} + \frac{15}{\sqrt{6} - 1}

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ nhân tử liên hợp với các mẫu số. Đầu tiên, rút gọn các phân số riêng biệt.

Phân số thứ nhất:

Nhân tử liên hợp với :

\frac{10}{\sqrt{6} - 12} \times \frac{\sqrt{6} + 12}{\sqrt{6} + 12} = \frac{10(\sqrt{6} + 12)}{(\sqrt{6})^2 - 12^2} = \frac{10(\sqrt{6} + 12)}{6 - 144} = \frac{10(\sqrt{6} + 12)}{-138}

= \frac{-10(\sqrt{6} + 12)}{138} = \frac{-\sqrt{6} - 12}{13.8}

Phân số thứ hai:

Nhân tử liên hợp với :

\frac{3}{\sqrt{6} - 5} \times \frac{\sqrt{6} + 5}{\sqrt{6} + 5} = \frac{3(\sqrt{6} + 5)}{(\sqrt{6})^2 - 5^2} = \frac{3(\sqrt{6} + 5)}{6 - 25} = \frac{3(\sqrt{6} + 5)}{-19}

= \frac{-3(\sqrt{6} + 5)}{19}

Phân số thứ ba:

Nhân tử liên hợp với :

\frac{15}{\sqrt{6} - 1} \times \frac{\sqrt{6} + 1}{\sqrt{6} + 1} = \frac{15(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{15(\sqrt{6} + 1)}{6 - 1} = \frac{15(\sqrt{6} + 1)}{5}

= 3(\sqrt{6} + 1)

Tổng hợp lại:

\frac{-\sqrt{6} - 12}{13.8} - \frac{-3(\sqrt{6} + 5)}{19} + 3(\sqrt{6} + 1)

Sau khi thực hiện phép cộng và trừ các phân số này, ta sẽ rút gọn được biểu thức.


---

b)

Chúng ta sẽ nhân tử liên hợp để rút gọn.

Phân số thứ nhất:

Nhân tử liên hợp với :

\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3 - 5} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{-2}

= \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}

Phân số thứ hai:

Nhân tử liên hợp với :

\frac{1}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{(3)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}

Tổng hợp lại:

M = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} - \frac{3 - \sqrt{5}}{4}

Chúng ta tiếp tục thực hiện phép cộng trừ và rút gọn.


---

c)

Ta sẽ tính giá trị của biểu thức trong căn trước khi nhân với 2.

A = 2\sqrt{\frac{1}{2} - \sqrt{8} + 3 - 2\sqrt{2}}

Đầu tiên, tính các giá trị trong biểu thức:

\sqrt{8} = 2\sqrt{2}

A = 2\sqrt{\frac{1}{2} - 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2} + 3 - 4\sqrt{2}}

Tiếp tục rút gọn trong căn.


---

d)

Phân số thứ nhất:

Nhân tử liên hợp với :

\frac{2}{3 + \sqrt{7}} \times \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{(3)^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{2} = 3 - \sqrt{7}

Phân số thứ hai:

\frac{\sqrt{28}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}

Tổng hợp lại:

D = (3 - \sqrt{7}) + \sqrt{7} = 3


---

Như vậy, kết quả rút gọn cho các biểu thức lần lượt là:

a)

b)

c)

d)