Để chứng minh bất đẳng thức đã cho:

\[
\frac{x + 2}{x - 1} \left( \frac{x^3}{2x + 2} + 1 \right) \frac{8x + 7}{2x^2 - 2} > 0 \quad (x \neq 1, x \neq -1)
\]

Chúng ta có thể phân tích từng phần của biểu thức.

1. **Xét các điều kiện xác định của biểu thức**:
- \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)
- \(2x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)
- \(2x^2 - 2 \neq 0 \Rightarrow x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) và \(x \neq -1\)

2. **Phân tích dấu của các phần riêng lẻ**:

- **Phần đầu tiên**: \( \frac{x + 2}{x - 1} \)
- Dấu của \( x + 2 \) phụ thuộc vào \( x \):
- Dương khi \( x > -2 \)
- Dấu của \( x - 1 \):
- Âm khi \( x < 1 \), dương khi \( x > 1 \)

- **Phần thứ hai**: \( \frac{x^3}{2x + 2} + 1 \)
- Xét \( \frac{x^3}{2x + 2} + 1 = \frac{x^3 + 2x + 2}{2x + 2} \)
- Dấu phụ thuộc vào tử số \( x^3 + 2x + 2 \) và mẫu số \( 2x + 2 \):
- Mẫu dương khi \( x > -1 \)

- **Phần thứ ba**: \( \frac{8x + 7}{2x^2 - 2} \)
- Dấu của \( 8x + 7 \) dương khi \( x > -\frac{7}{8} \)
- Dấu của \( 2x^2 - 2 \) dương khi \( x^2 > 1 \) (tức là \( x > 1 \) hoặc \( x < -1 \))

3. **Kết hợp dấu các phần**:
- Phân tích biểu thức trên từng khoảng xác định cho \( x \):
- Tại các khoảng: \( (-\infty, -2), (-2, -1), (-1, 1), (1, +\infty) \)

4. **Xét từng khoảng**:
- \( (-\infty, -2) \): Tất cả các phần đều âm, nên biểu thức âm.
- \( (-2, -1) \): \( x + 2 > 0 \), \( x - 1 < 0 \), \( \ldots \): Xét tất cả các phần để tìm dấu cuối cùng.
- \( (-1, 1) \): Phân tích tương tự.
- \( (1, +\infty) \): Tất cả đều dương.

Cuối cùng, chúng ta có thể thấy rằng biểu thức chỉ dương trên một số khoảng, và ta có thể đưa ra kết luận về các chỉ số của phân thức.

**Kết luận**: Dấu của toàn bộ biểu thức phụ thuộc vào các điều kiện và xác định các khoảng cho \( x \). Qua phân tích, ta sẽ chứng minh được bất đẳng thức là đúng với các điều kiện đã nêu.