Cho phương trình x^2 - 2(m - 1)x - 3 = 0. Tìm M để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 > 10

Để giải bài toán, ta bắt đầu với phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 2(m - 1)x - 3 = 0
\]

Theo định lý Viète, với phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), ta có:

- Tổng nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Tích nghiệm \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Áp dụng cho phương trình của ta:

- \( x_1 + x_2 = 2(m - 1) \)
- \( x_1 x_2 = -3 \)

Chúng ta cần tìm điều kiện cho \( x_1^2 + x_2^2 > 10 \).

Sử dụng công thức \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \), ta có:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (2(m - 1))^2 - 2(-3)
\]

Tính toán:

\[
x_1^2 + x_2^2 = 4(m - 1)^2 + 6
\]

Ta cần thoả mãn điều kiện:

\[
4(m - 1)^2 + 6 > 10
\]

Giải bất phương trình này:

\[
4(m - 1)^2 > 4
\]

\[
(m - 1)^2 > 1
\]

Từ bất phương trình trên, ta có hai trường hợp:

1. \( m - 1 > 1 \) hay \( m > 2 \)
2. \( m - 1 < -1 \) hay \( m < 0 \)

Vậy kết luận là:

\[
m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 2
\]

Đó là các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 > 10 \).