Cho phương trình x^2 - (2m - 1)x - 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 > 0

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - (2m - 1)x - 3 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) và thỏa mãn điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 > 0 \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các điều kiện cho phương trình bậc hai có hai nghiệm**:
Phương trình bậc hai sẽ có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức \( D \) lớn hơn 0:
\[
D = (2m - 1)^2 + 4 \cdot 3 > 0.
\]
Tính toán biệt thức:
\[
D = (2m - 1)^2 + 12.
\]
Vì \( (2m - 1)^2 \geq 0 \) và \( 12 > 0 \), suy ra \( D > 0 \) với mọi giá trị của \( m \). Vì vậy, phương trình luôn có hai nghiệm thực.

2. **Điều kiện cho \( x_1^2 + x_2^2 > 0 \)**:
Ta có công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.
\]
Theo định lý Viète, với \( a = 1, b = -(2m - 1), c = -3 \):
\[
x_1 + x_2 = 2m - 1,
\]
\[
x_1 x_2 = -3.
\]

Thay vào công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (2m - 1)^2 - 2(-3) = (2m - 1)^2 + 6.
\]

Chúng ta cần:
\[
(2m - 1)^2 + 6 > 0.
\]

Biểu thức này luôn lớn hơn 0 vì \( (2m - 1)^2 \geq 0 \) và \( 6 > 0 \). Do đó, điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 > 0 \) cũng thỏa mãn với mọi giá trị của \( m \).

3. **Kết luận**:
Giá trị của \( m \) có thể là bất kỳ số thực nào. Tóm lại, phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 > 0 \) với mọi giá trị của \( m \).