Phương trình x^2 - 2 (m - 1)x - 3 = 0 Tìm M để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 > 10

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - 2(m - 1)x - 3 = 0 \) có 2 nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 > 10 \), đầu tiên ta sẽ giải phương trình này.

Phương trình bậc 2 có dạng tổng quát là \( ax^2 + bx + c = 0 \) và có nghiệm được tính bằng công thức:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2(m-1) \), và \( c = -3 \).

Để có 2 nghiệm phân biệt, phải thỏa mãn điều kiện:

\[
b^2 - 4ac > 0
\]

Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
(-2(m - 1))^2 - 4(1)(-3) = 4(m - 1)^2 + 12
\]

Vì \( 4(m - 1)^2 + 12 > 0 \) luôn đúng với mọi giá trị của \( m \), nên phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt.

Tiếp theo, ta cần tính \( x_1^2 + x_2^2 \) theo \( m \). Ta có:

\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = 2(m - 1)
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -3
\]

Sử dụng công thức:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]

Tính \( x_1^2 + x_2^2 \):

\[
x_1^2 + x_2^2 = (2(m-1))^2 - 2(-3) = 4(m - 1)^2 + 6
\]

Để tìm \( m \) sao cho \( x_1^2 + x_2^2 > 10 \), ta lập bất phương trình:

\[
4(m - 1)^2 + 6 > 10
\]

Rút gọn bất phương trình:

\[
4(m - 1)^2 > 4
\]
\[
(m - 1)^2 > 1
\]

Giải bất phương trình \( (m - 1)^2 > 1 \):

\[
m - 1 < -1 \quad \text{hoặc} \quad m - 1 > 1
\]
\[
m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 2
\]

Vậy, các giá trị của \( m \) để phương trình có 2 nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 > 10 \) là:

\[
m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 2
\]