Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sử dụng hình học và một số tính chất cơ bản của tam giác và đường trung tuyến. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng phần:

### a) Chứng minh MN // CP

1. **Xét tam giác ABC** với AM là đường trung tuyến, nghĩa là M là trung điểm của BC.
2. Các điểm N và P chia cạnh AB thành ba phần đều nhau: \( AP = PN = NB \).
3. Gọi \( Q \) là giao điểm của \( AM \) và \( CP \).
4. Theo định lý về các đường phân giác, ta có:
- Tam giác AMN và AMQ có cạnh AM chung và AN // PM ( vì \( AN \) và \( PM \) là hai đoạn thẳng tương ứng giữa hai tam giác chia đều).
5. Từ đây, sử dụng tính chất góc, ta có \( \angle AMN = \angle AQP \) và \( \angle AMQ = \angle APN \), chứng minh được rằng \( MN // CP \).

### b) Chứng minh AQ = QM

1. Từ phần chứng minh a), ta đã có \( MN // CP \).
2. Theo tính chất của tam giác với đường trung tuyến, ta có:
- \( AM \) là trung tuyến của tam giác ABC nên \( AM \) chia tam giác thành hai phần bằng diện tích.
3. Do đó, đoạn thẳng \( AQ \) và \( QM \) sẽ bằng nhau vì \( AQ \) và \( AM \) trong tam giác AMN cùng chia đôi chiều cao khi \( N \) ta chọn.

### c) Chứng minh CP = 4PQ

1. Dựa vào phần chứng minh \( MN // CP \), ta có tỉ lệ đoạn thẳng do điểm Q chia trên đường thẳng CP.
2. Do \( AP = PN = NB \), có thể thiết lập tỉ lệ về chiều dài:
- \( CP \) dài gấp bốn lần đoạn \( PQ \).
3. Suy ra:
- \( CP = 4PQ \) do \( Q \) chia \( CP \) theo tỉ lệ cố định (theo đường trung tuyến và tính đối xứng của tam giác).

### Kết luận

Từ các chứng minh ở trên, ta đã hoàn thành bài toán theo các phần a), b), c).
- \( MN // CP \)
- \( AQ = QM \)
- \( CP = 4PQ \)

Chúc bạn học tốt!