Để chứng minh tam giác \( ANM \) vuông cân trong hình vuông \( ABCD \) với tâm \( O \), ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

1. **Đặt tọa độ cho các điểm:**
Giả sử hình vuông \( ABCD \) có cạnh \( a \) và các điểm được đặt như sau:
- \( A(0, a) \)
- \( B(a, a) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(0, 0) \)
- \( O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \)

2. **Tìm tọa độ các điểm M và N:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \):
\[
M\left(\frac{a + a}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = \left(a, \frac{a}{2}\right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( DO \):
\[
N\left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right)
\]

3. **Tính độ dài các cạnh của tam giác ANM:**
- Tính độ dài \( AN \):
\[
AN = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{4}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{3a}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}
\]

- Tính độ dài \( AM \):
\[
AM = \sqrt{\left(0 - a\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(-a)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}
\]

- Tính độ dài \( NM \):
\[
NM = \sqrt{\left(\frac{a}{4} - a\right)^2 + \left(\frac{a}{4} - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{a}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}
\]

4. **So sánh các cạnh của tam giác ANM:**
- Ta có \( AN = NM = \frac{a\sqrt{10}}{4} \) và \( AM = \frac{a\sqrt{5}}{2} \).
- Như vậy, tam giác \( ANM \) có hai cạnh bằng nhau ( \( AN = NM \) ), do đó tam giác \( ANM \) là tam giác vuông cân tại \( A \).

5. **Kết luận:**
Tam giác \( ANM \) vuông cân tại \( A \).

Vậy, ta đã chứng minh thành công rằng tam giác \( ANM \) vuông cân.