Cho a; b là các số tự nhiên liên tiếp không cùng tính chẵn lẻ (a > b). Chứng minh rằng: ƯCLN (a; b) = ƯCLN (a + b; a - b )

Để chứng minh rằng \( \text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(a+b, a-b) \) với \( a, b \) là các số tự nhiên liên tiếp không cùng tính chẵn lẻ (và \( a > b \)), ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Giả sử \( d = \text{GCD}(a, b) \). Khi đó, \( d \) là ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \), do đó \( d \) chia cả \( a \) và \( b \):

\[
a = kd \quad \text{và} \quad b = md
\]

với \( k, m \) là các số nguyên và \( k > m \) vì \( a > b \).

### Bước 1: Chứng minh \( d \) chia \( a+b \) và \( a-b \)

- Tính \( a + b \):

\[
a + b = kd + md = (k + m)d
\]

Vậy \( d \) chia \( a + b \).

- Tính \( a - b \):

\[
a - b = kd - md = (k - m)d
\]

Vậy \( d \) cũng chia \( a - b \).

### Bước 2: Chứng minh rằng \( \text{GCD}(a+b, a-b) \) chia \( d \)

Xét \( a+b \) và \( a-b \):

\[
\begin{align*}
a + b & = (k + m)d \\
a - b & = (k - m)d
\end{align*}
\]

Từ này, ta thấy rằng cả \( a+b \) và \( a-b \) đều chia cho \( d \). Do đó, \( d \) cũng là ước của \( a+b \) và \( a-b \).

### Bước 3: Chứng minh rằng \( \text{GCD}(a+b, a-b) \leq d \)

Giả sử \( g = \text{GCD}(a+b, a-b) \). Từ bước 2, ta đã chỉ ra rằng \( g \) chia cả \( a+b \) và \( a-b \). Do đó, \( g \) cũng chia:

\[
\begin{align*}
(a+b) + (a-b) & = 2a \\
(a+b) - (a-b) & = 2b
\end{align*}
\]

Vậy \( g \) cũng chia cho \( 2a \) và \( 2b \). Vì \( g \) là ước chung của \( a \) và \( b \), ta có \( g \leq d \).

### Kết luận

Từ bước 1 và bước 3, ta có:

\[
d = \text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(a+b, a-b) \implies \text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(a+b, a-b)
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
\text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(a+b, a-b)
\]

Điều này hoàn tất việc chứng minh.