Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC, BA lần lượt lấy điểm E và F sao cho \(\frac{BF}{BE} = \frac{2}{3}\). Đoạn thẳng FE cắt đoạn thẳng BD tại I

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thoi và định lý tương tự.

### a) Tính \(\frac{IE}{IF}\)?

1. **Tính tỉ lệ**: Theo bài, ta có \(\frac{BF}{BE} = \frac{2}{3}\). Từ đó, ta có thể ký hiệu độ dài của đoạn \(BE\) là \(3k\) và \(BF\) là \(2k\) cho một số \(k\) nào đó.

2. **Cách tiếp cận**: Đường thẳng \(FE\) cắt \(BD\) tại \(I\). Dựa vào tính chất của cắt nhau tại một điểm mà các đoạn là tỉ lệ, ta áp dụng định lý phân giác.

Ta có tỉ lệ:

\[
\frac{IE}{IF} = \frac{BE}{BF} = \frac{3}{2}
\]

### b) Giả sử \(FE = 12 cm\). Tính độ dài các đoạn \(IE\) và \(IF\)?

1. **Tính tổng độ dài**: Tổng độ dài của \(IE + IF\) bằng độ dài của \(FE\):

\[
IE + IF = 12 cm
\]

2. **Áp dụng tỉ lệ**: Gọi \(IE = 3x\) và \(IF = 2x\). Ta có:

\[
3x + 2x = 12 \implies 5x = 12 \implies x = \frac{12}{5} = 2.4
\]

3. **Tính \(IE\) và \(IF\)**:

\[
IE = 3x = 3 \times 2.4 = 7.2 cm
\]
\[
IF = 2x = 2 \times 2.4 = 4.8 cm
\]

### Kết quả:
- a) \(\frac{IE}{IF} = \frac{3}{2}\)
- b) \(IE = 7.2 cm\) và \(IF = 4.8 cm\)