Để chứng minh rằng \( a = n^2(n+1) + 2n(n+1) \) luôn chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên \( n \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi biểu thức**:

Ta có:
\[
a = n^2(n+1) + 2n(n+1) = (n^2 + 2n)(n+1) = n(n + 2)(n + 1)
\]

2. **Xét tính chia hết cho 2 và 3**:

Để \( a \) chia hết cho 6, \( a \) phải chia hết cho cả 2 và 3.

- **Kiểm tra tính chia hết cho 2**:
- Trong ba số \( n, n + 1, n + 2 \), ít nhất một trong số chúng là số chẵn, do đó \( n(n + 2)(n + 1) \) sẽ chia hết cho 2.

- **Kiểm tra tính chia hết cho 3**:
- Trong ba số \( n, n + 1, n + 2 \), ít nhất một trong số chúng sẽ chia hết cho 3, vì một trong ba số liên tiếp luôn phải chia hết cho 3. Do đó \( n(n + 2)(n + 1) \) sẽ chia hết cho 3.

3. **Kết luận**:

Vậy, vì \( a = n(n + 2)(n + 1) \) chia hết cho cả 2 và 3, nên \( a \) cũng chia hết cho 6.

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( a = n^2(n + 1) + 2n(n + 1) \) luôn chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên \( n \).