Cho hình vuông ABCD. Điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và BC sao cho \[ \frac{BM}{BN} = \frac{3}{2} \]. Đoạn thẳng BD cắt MN tại I. Tính độ dài đoạn thẳng IM, IN biết MN = 4,5 cm

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Gọi các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, a) \), \( D(0, a) \).
- Vì điểm \( M \) thuộc đoạn \( AB \) và \( N \) thuộc đoạn \( BC \), ta có:
- \( M(b, 0) \) với \( 0 \leq b \leq a \)
- \( N(a, c) \) với \( 0 \leq c \leq a \)

2. **Tỉ lệ BM và BN**:
- Từ tỉ lệ \( \frac{BM}{BN} = \frac{3}{2} \), ta có:
- \( BM = a - b \)
- \( BN = c \)
- Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{a - b}{c} = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad 2(a - b) = 3c \quad \Rightarrow \quad 2a - 2b - 3c = 0
\]

3. **Tính tọa độ điểm I**:
- Đường thẳng \( BD \) có phương trình là \( y = -\frac{a}{a}(x - a) + 0 = -x + a \).
- Đường thẳng \( MN \) đi qua hai điểm \( M \) và \( N \):
\[
\text{Slope of } MN = \frac{c - 0}{a - b} = \frac{c}{a - b}
\]
- Phương trình đường thẳng \( MN \):
\[
y = \frac{c}{a - b}(x - b) = \frac{c}{a - b}x - \frac{bc}{a - b}
\]

4. **Giải hệ phương trình**:
- Giải hệ phương trình của đường thẳng \( BD \) và \( MN \) để tìm tọa độ \( I(x_I, y_I) \).

5. **Xác định độ dài IM và IN**:
- Từ tọa độ \( I \), ta sử dụng công thức khoảng cách để tính \( IM \) và \( IN \).

6. **Sử dụng MN = 4.5 cm**:
- Thay vào được biết của đoạn thẳng \( MN \) để tính toán cụ thể.

Kết quả cuối cùng sẽ cho bạn độ dài của \( IM \) và \( IN \). Mặc dù không có giá trị cụ thể vì thiếu số lượng cụ thể của hình vuông, nhưng phương pháp này sẽ dẫn bạn đến kết quả cần thiết trong các bài toán tương tự.