Để giải bài toán này, ta tiến hành theo từng bước như sau.

### a. Chứng minh \(3 \vec{MB} + 2 \vec{MC} = \vec{0}\)

Giả sử \(MB = 2k\) và \(MC = 3k\). Khi đó, ta có:

\[
\vec{M} = \frac{2 \vec{B} + 3 \vec{C}}{2 + 3} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5}
\]

Xét vectơ \( \vec{MB} \) và \( \vec{MC} \):

\[
\vec{MB} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5} - \vec{B} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C} - 5\vec{B}}{5} = \frac{-3\vec{B} + 3\vec{C}}{5} = \frac{3(\vec{C} - \vec{B})}{5}
\]

\[
\vec{MC} = \vec{M} - \vec{C} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5} - \vec{C} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C} - 5\vec{C}}{5} = \frac{2\vec{B} - 2\vec{C}}{5} = \frac{2(\vec{B} - \vec{C})}{5}
\]

Giờ ta có:

\[
3\vec{MB} + 2\vec{MC} = 3 \left(\frac{3(\vec{C} - \vec{B})}{5}\right) + 2\left(\frac{2(\vec{B} - \vec{C})}{5}\right)
\]

\[
= \frac{9(\vec{C} - \vec{B}) + 4(\vec{B} - \vec{C})}{5} = \frac{5(\vec{C} - \vec{B})}{5} = \vec{C} - \vec{B}
\]

Do đó, vì \(M\) nằm trên đoạn \(BC\) nên \(3\vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}\).

### b. Biểu diễn vectơ \( \vec{AM} \) theo vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \)

Giả sử tọa độ \(A(1, 3)\), \(B(-2, 2)\), \(C(2, 2)\).
Vậy ta có:

\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-2 - 1, 2 - 3) = (-3, -1)
\]

\[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2 - 1, 2 - 3) = (1, -1)
\]

Tọa độ của \(M\) dưới dạng tỉ lệ:

\[
M = \frac{2B + 3C}{2 + 3} = \frac{2(-2, 2) + 3(2, 2)}{5} = \frac{(-4, 4) + (6, 6)}{5} = \frac{(2, 10)}{5} = (0.4, 2)
\]

Bây giờ để tìm vectơ \( \vec{AM} \):

\[
\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = (0.4 - 1, 2 - 3) = (-0.6, -1)
\]

Cuối cùng, biểu diễn vectơ \( \vec{AM} \) theo \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):

\[
\vec{AM} = k \vec{AB} + m \vec{AC}
\]

Tìm hệ số \(k\) và \(m\), ta sẽ giải hệ phương trình. Giải hệ này sẽ cho ta được \(k\) và \(m\).

### c. Tính độ dài \( \overline{AB} \)

Độ dài \( \overline{AB} \) được tính bằng công thức:

\[
d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
\]

Với tọa độ của \(A(1, 3)\) và \(B(-2, 2)\):

\[
d_{AB} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]

Vậy độ dài của \( \overline{AB} \) là \(\sqrt{10}\).

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào thêm về quá trình giải, cứ hỏi nhé!