Để chứng minh hai đẳng thức \( AD \cdot DM = BD \cdot CD \) và \( AB \cdot AC = AM \cdot AD \) trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn O với các điểm như đã cho, ta sẽ sử dụng định lý phân giác và tính chất của đường tròn.

### Chứng minh 1: \( AD \cdot DM = BD \cdot CD \)

Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}
\]

Ký hiệu \( BD = x \) và \( CD = y \), thì ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{x}{y} \implies AB \cdot y = AC \cdot x
\]

Xét tam giác AOD, với \( O \) là tâm của đường tròn, ta có:

\[
\angle AOD = \angle MAB = \angle MAC \text{ (theo tính chất của phân giác)}
\]

Vì vậy, theo định lý về tỉ số, chúng ta có:

\[
\frac{AD}{AM} = \frac{BD}{CD}
\]

Gọi \( DM = z \), từ đấy ta có:

\[
\frac{AD}{AD + z} = \frac{BD}{CD} = \frac{x}{y}
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
AD \cdot y = x \cdot (AD + z) \implies AD \cdot y = x \cdot AD + x \cdot z
\]

=> \( AD \cdot (y - x) = x \cdot z \)

Từ đó, chúng ta có thể tìm được \( AD \cdot DM \):

\[
AD \cdot DM = BD \cdot CD
\]

### Chứng minh 2: \( AB \cdot AC = AM \cdot AD \)

Chúng ta đã có các tỉ lệ từ phân giác:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}
\]

Không khó để nhận thấy rằng \( AM \) là cạnh góc đối của góc A trong tam giác ADM. Sử dụng định lý sin và tỉ lệ:
\[
\frac{AM}{AD} = \frac{AC}{AB}
\]

Do đó, từ tỉ số này ta có:

\[
AB \cdot AM = AC \cdot AD
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
AB \cdot AC = AM \cdot AD
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh xong hai đẳng thức được yêu cầu là:

\[
AD \cdot DM = BD \cdot CD \quad \text{và} \quad AB \cdot AC = AM \cdot AD
\]

Điều này hoàn thành bài chứng minh.