Để chứng minh hai mệnh đề trong bài toán này, ta thực hiện từng bước như sau:

**a) Chứng minh tam giác \( ABC \) cân:**

1. Ta có \( BD = CE \) theo giả thiết.
2. Các đọan thẳng \( AD \) và \( AE \) là hai đoạn nối từ điểm \( A \) trên đường trung trực của \( DE \) đến hai điểm \( D \) và \( E \).
3. Vì \( A \) nằm trên đường trung trực của \( DE \) nên ta có \( AD = AE \).
4. Xét tam giác \( ADE \):
- Ta có \( AD = AE \) (vì \( A \) nằm trên đường trung trực).
- Do đó, \( \triangle ADB \) và \( \triangle AEC \) sẽ cùng có hai cạnh \( AD = AE \) và cạnh chung \( AC \).
- Bởi vậy \( \triangle ADB \cong \triangle AEC \) (cạnh - cạnh - cạnh).
- Từ đó, \( AB = AC \), tức là tam giác \( ABC \) cân.

**b) Chứng minh \( AD = AE \):**

1. Như đã chỉ ra ở trên, điểm \( A \) nằm trên đường trung trực của \( DE \).
2. Định nghĩa đường trung trực là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối giữa hai điểm \( D \) và \( E \) tại trung điểm của nó.
3. Do đó, từ điểm \( A \) (thuộc đường trung trực) đến hai điểm \( D \) và \( E \), ta có khoảng cách \( AD = AE \).

Do vậy, hai mệnh đề đã được chứng minh:
- \( \triangle ABC \) là tam giác cân.
- \( AD = AE \).

Nếu bạn cần mô tả chi tiết hơn từng bước hoặc có câu hỏi khác, hãy cho tôi biết!