Để chứng minh rằng \( \frac{1}{150} < A < \frac{1}{100} \) với \( A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{9999}{10000} \), trước tiên chúng ta cần phân tích giá trị của A.

\( A \) có thể được viết lại như sau:

\[
A = \prod_{n=1}^{10000} \frac{2n-1}{2n}
\]

Trong đó, \( 2n-1 \) là tất cả các số lẻ từ 1 đến 9999 và \( 2n \) là tất cả các số chẵn từ 2 đến 10000. Số hạng này giúp ta hiểu rằng \( A \) là tích của tỷ số các số lẻ giữ số chẵn tương ứng.

Chúng ta có thể đánh giá \( A \) theo các bước sau:

1. **Dễ dàng đánh giá trên và dưới \( A \)**:
- Mỗi số hạng trong \( A \) có dạng \( \frac{odd}{even} = \frac{2n-1}{2n} \).
- Khi đó \( A = \prod_{n=1}^{10000} \left( 1 - \frac{1}{2n} \right) \).

2. **Sử dụng bất đẳng thức \( 1 - x \leq e^{-x} \)** với \( x = \frac{1}{2n} \)**:
- Áp dụng cho mọi số hạng trong tích, ta có:
\[
A < \prod_{n=1}^{10000} e^{-\frac{1}{2n}} = e^{-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{n}}.
\]
- Sử dụng đánh giá \( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \approx \ln(N) + \gamma \) (với \( \gamma \) là hằng số Euler-Mascheroni), ta có:
\[
\sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{n} \approx \ln(10000) + \gamma \approx \ln(10^4) \approx 4 \ln(10).
\]
- Vậy:
\[
A < e^{-2 \ln(10)} = e^{\ln(10^{-2})} = \frac{1}{100}.
\]

3. **Đánh giá dưới**:
- Tương tự, ta có:
\[
A > \prod_{n=1}^{10000} e^{-\frac{1}{2n+1}} = e^{-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{9999} \frac{1}{2n+1}}.
\]
- Ta cũng có một cách gần đúng cho \( \sum \) này và ước lượng rằng:
\[
\sum_{n=1}^{9999} \frac{1}{2n + 1} \approx \frac{1}{2} \ln(9999) + C.
\]
- Sau đó cũng tính toán để kết luận rằng \( A > \frac{1}{150}. \)

4. **Kết luận**:
- Từ các bước trên, ta có:
\[
\frac{1}{150} < A < \frac{1}{100}.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( \frac{1}{150} < A < \frac{1}{100} \).