Để tính độ dài vectơ \( \overrightarrow{AM} \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( AB = 1 \) và \( AC = 2 \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(1, 0) \)
- \( C(0, 2) \)

2. **Xác định tọa độ điểm \( M \)**:
- Từ đề bài, \( M \) thỏa mãn:
\[
\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM}
\]
- Tính \( \overrightarrow{AC} \) và \( \overrightarrow{AB} \):
- \( \overrightarrow{AC} = C - A = (0, 2) - (0, 0) = (0, 2) \)
- \( \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \)

- Tính \( \overrightarrow{AM} \):
\[
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (0, 2) - (1, 0) = (-1, 2)
\]

3. **Tính độ dài vectơ \( \overrightarrow{AM} \)**:
- Áp dụng công thức độ dài vectơ:
\[
|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

Vậy độ dài vectơ \( \overrightarrow{AM} \) là \( \sqrt{5} \).