Để giải bài toán với tam giác ABC vuông tại A, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Bài 11:
1. **Chứng minh DH ⊥ AC:**
- Do BH = BA, nên tam giác BAH vuông tại A.
- Áp dụng định lý Pitago, ta có BH^2 = BA^2 + AH^2.
- Mặt khác, do BH = BA, nên DH là đường vuông góc từ H đến AC, do đó DH ⊥ AC.

2. **Biết ∠ABD = 110°:**
- Từ ∠ABC = 90° và ∠ABD = ∠ABC + ∠DBH = 90° + ∠DBH, ta có ∠DBH = 20°.
- Vậy, ∠ABD = ∠ABC + ∠DBH = 90° + 20° = 110°.

3. **Tính ∠ABD:**
- Dễ thấy ∠ABD = 110° từ phần trên.

### Bài 12:
1. **Chứng minh DB là tia phân giác của ∠ADE:**
- Tại điểm B, ta có ∠ADB + ∠DBE = ∠ADE, do đó DB là tia phân giác.

2. **Chứng minh BD = DC:**
- Vì D là trung điểm của BC, nên BD = DC.

3. **Tính B, C của tam giác ABC:**
- Ta có ∠ABC = 90°, chứng minh rằng B, C là các đỉnh của tam giác vuông ABC.

### Bài 14:
1. **Chứng minh AD ⊥ BC:**
- Tại điểmD, AD vuông góc với BC vì AD là tia phân giác của các góc tại A.

2. **Lấy điểm E thuộc AC, điểm F thuộc AC sao cho BE = CF:**
- Theo định nghĩa này, chúng ta sẽ có hai đoạn thẳng BE và CF bằng nhau.

3. **Chứng minh DA là tia phân giác của EDF:**
- Do AD là đường phân giác của góc EDF, ta dễ dàng chứng minh được DA vừa là cao (AD ⊥ BC) vừa là tia phân giác.

Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn trong việc chứng minh và giải các bài toán! Nếu cần thêm thông tin hay hỗ trợ khác, hãy cho tôi biết.