Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng

Để xét tính liên tục của các hàm số, ta cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm mà hàm có thể không liên tục (thường là các điểm mà hàm có sự thay đổi hoặc không xác định).

### a) Hàm số \( f(x) \)

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - x - 2}{x + 1} & \text{ khi } x \neq -1 \\
-3 & \text{ khi } x = -1
\end{cases}
\]

1. **Tính liên tục tại \( x = -1 \)**:

- Tính giới hạn \( \lim_{x \to -1} f(x) \):
\[
\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 1}
\]
Ta có thể đơn giản hóa:
\[
\lim_{x \to -1} (x - 2) = -3
\]

- So sánh giới hạn với giá trị hàm tại \( x = -1 \):
\[
f(-1) = -3
\]

Do đó, \( \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) \), suy ra \( f(x) \) liên tục tại \( x = -1 \).

2. **Các giá trị khác**: Hàm số \( f(x) \) là một biểu thức phân thức xác định với \( x \neq -1 \), do đó liên tục trên khoảng này.

### b) Hàm số \( f(x) \)

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{2x + 1}{(x - 1)^2} & \text{ khi } x \neq 1 \\
3 & \text{ khi } x = 1
\end{cases}
\]

1. **Tính liên tục tại \( x = 1 \)**:

- Tính giới hạn \( \lim_{x \to 1} f(x) \):
\[
\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2x + 1}{(x - 1)^2}
\]
Chú ý rằng mẫu số \( (x - 1)^2 \) tiến tới 0 khi \( x \) tiến tới 1 và tử số \( 2x + 1 \) tiến tới 3. Giới hạn này không xác định được (dạng \(\frac{3}{0}\), nghĩa là không tồn tại).

- Vì vậy, \( \lim_{x \to 1} f(x) \) không tồn tại, do đó \( f(x) \) không liên tục tại \( x = 1 \).

2. **Các giá trị khác**: Hàm số \( f(x) \) là không xác định tại \( x = 1 \), và sẽ liên tục trên các khoảng khác.

### Kết luận

- Hàm \( f(x) \) trong phần a) liên tục trên toàn bộ tập xác định.
- Hàm \( f(x) \) trong phần b) không liên tục tại \( x = 1 \) nhưng liên tục trên các khoảng khác.