Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Điều kiện xác định của biểu thức \( P \)

Biểu thức \( P \) có hai phần cần lưu ý:
1. Mẫu số của phân số thứ nhất: \( 9 - x^2 \) phải khác 0.
2. Mẫu số của phân số thứ hai: \( x + 3 \) phải khác 0.

- Từ \( 9 - x^2 \neq 0 \), ta có:
\[
x^2 \neq 9 \implies x \neq 3 \quad \text{và} \quad x \neq -3
\]

- Từ \( x + 3 \neq 0 \), ta có:
\[
x \neq -3
\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \( P \) là:
\[
x \neq 3 \quad \text{và} \quad x \neq -3
\]

### b) Rút gọn \( P \)

Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có:
\[
P = \frac{x^2 - 6x + 9}{9 - x^2} + \frac{4x + 8}{x + 3}
\]
Tính \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \) và \( 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \).

Như vậy,
\[
P = \frac{(x - 3)^2}{(3 - x)(3 + x)} + \frac{4(x + 2)}{x + 3}
\]
Sau khi tính toán, chúng ta có:
\[
P = \frac{-(x - 3)}{3 + x} + \frac{4(x + 2)}{x + 3}
\]
Cuối cùng, rút gọn sẽ cho ra biểu thức:
\[
P = \frac{3x + 11}{x + 3}
\]

### c) Giá trị của \( P \) tại \( x = -2 \)

Thay \( x = -2 \) vào biểu thức:
\[
P(-2) = \frac{3(-2) + 11}{-2 + 3} = \frac{-6 + 11}{1} = 5
\]

### d) Với \( x \in \{-2; -1; -4\} \)

Trong trường hợp này, ta chỉ cần tính giá trị của \( P \) tại từng giá trị:

1. Với \( x = -2 \):
\[
P(-2) = 5
\]

2. Với \( x = -1 \):
\[
P(-1) = \frac{3(-1) + 11}{-1 + 3} = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4
\]

3. Với \( x = -4 \):
\[
P(-4) = \frac{3(-4) + 11}{-4 + 3} = \frac{-12 + 11}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1
\]

Tóm tắt lại:
- \( P(-2) = 5 \)
- \( P(-1) = 4 \)
- \( P(-4) = 1 \)

Vậy, các giá trị của \( P \) với các \( x \) đã cho là 5, 4, và 1.