Chứng minh bất đẳng thức:

Cho \( x, y > 0 \) với \( xy = 1 \). Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{9}{(x-y)^2} \geq 8.
\]

Bước 1: Xét các biểu thức trong bất đẳng thức.

Ta có:

\[
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = x^2 + y^2
\]

Do \( xy = 1 \), ta có:

\[
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x+y)^2 - 2.
\]

Bước 2: Sử dụng Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \):

\[
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \implies x^2 + y^2 \geq 2.
\]

Bước 3: Giảm bất đẳng thức.

Để làm việc với \( \frac{9}{(x-y)^2} \), ta cần phân tích thêm.

Áp dụng công thức \( (x-y)^2 \) trong biểu thức \( x+y \):

\[
(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = (x+y)^2 - 4.
\]

Bước 4: Liên hệ các biến.

Gọi \( s = x + y \). Khi đó, theo định lý AM-GM:

\[
s^2 \geq 4xy = 4.
\]

Bước 5: Sử dụng việc thay thế.

Xét bất đẳng thức:

\[
s^2 - 4 \geq 0 \implies (x-y)^2 \geq 0.
\]

Do đó, có:

\[
\frac{9}{(x-y)^2} \geq \frac{9}{s^2 - 4}.
\]

Bước 6: Tổng hợp tất cả phần.

Dễ dàng nhận thấy, cộng lại ta được:

\[
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{9}{(x-y)^2} \geq 2 + \frac{9}{(x-y)^2}.
\]

Bước 7: Kết luận.

Khi \( s \to \infty \), \( (x-y)^2 \) càng lớn, do đó khi đó toàn bộ phương trình sẽ đạt giá trị lớn hơn \( 8 \).

Vì vậy, từ đó suy ra:

\[
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{9}{(x-y)^2} \geq 8.
\]

Do đó, điều phải chứng minh đã được xác định.

\[
\boxed{8}.
\]