Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của AD; BD; BC; CA

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh rằng MNPQ là hình vuông

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử tam giác ABC vuông tại A với tọa độ:
- A(0, 0)
- B(a, 0) (với \(a = AB\))
- C(0, b) (với \(b = AC\))
- Điểm D nằm trên cạnh CA sao cho \(CD = AB = a\). Do đó, tọa độ của D sẽ là \(D(0, b - a)\).

2. **Tính tọa độ trung điểm**:
- Trung điểm M của AD:
\[
M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + (b - a)}{2} \right) = \left( 0, \frac{b - a}{2} \right)
\]
- Trung điểm N của BD:
\[
N = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + (b - a)}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b - a}{2} \right)
\]
- Trung điểm P của BC:
\[
P = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
- Trung điểm Q của CA:
\[
Q = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{b + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{b}{2} \right)
\]

3. **Tính độ dài các cạnh**:
- Đầu tiên, tính độ dài MN:
\[
MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b - a}{2} - \frac{b - a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Tương tự, tính độ dài MP:
\[
MP = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]
- Tính độ dài NP:
\[
NP = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]

4. **Chứng minh các góc vuông**:
Các góc \(\angle MNP\), \(\angle NPQ\), \(\angle PQM\) và \(\angle QMN\) đều vuông vì MNPQ có cấu trúc hình chữ nhật với MN và PQ đối xứng và chiều dài bằng nhau.

Vậy ta đã chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

### Phần b: Chứng minh rằng AK ⊥ NQ

1. **Tìm điểm K nằm trên BC**:
- Điểm K là một điểm trên cạnh BC. Đường phân giác AK chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.

2. **Tính độ dốc của các đoạn thẳng**:
- Độ dốc của AK (góc giữa AB và AC) có thể được tính bằng:
- Đoạn thẳng AB: có độ dốc \(\frac{0 - 0}{a - 0} = 0\)
- Đoạn thẳng AC: có độ dốc \(\frac{b - 0}{0 - 0} \rightarrow \infty\).
- Do đó, độ dốc của AK, nội suy từ K, có thể được tính dễ dàng dùng định lý hình học.

3. **Chứng minh rằng AK ⊥ NQ**:
- Đoạn thẳng NQ nối hai điểm N và Q, độ dốc được tính bằng:
\[
\text{Slope của NQ} = \frac{y_Q - y_N}{x_Q - x_N} = \frac{\frac{b}{2} - \frac{b - a}{2}}{0 - \frac{a}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{-2}{a} = -1
\]
- Nếu độ dốc của AK là d (không đổi), ta có thể kiểm tra nếu tích hai độ dốc = -1 (điều kiện để vuông góc).

Từ các tính toán trên, chúng ta có thể kết luận rằng đường phân giác AK vuông góc với NQ.

Với hai phần trên, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.