Cho hình chữ nhật ABCD kẻ DK vuông góc AC tại K.Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của KC.CM góc DNM =90 Độ

Để chứng minh rằng \(\angle DNM = 90^\circ\), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật, các trung điểm, cùng với một vài công thức hình học cơ bản.

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng tọa độ với các tọa độ như sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, b)\)
- \(D(0, b)\)

2. **Tọa độ trung điểm \(M\)** của đoạn thẳng \(AB\):
\[
M = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

3. **Tọa độ của điểm \(K\)** trên đoạn \(AC\):
Đoạn thẳng \(AC\) có phương trình từ \(A(0, 0)\) đến \(C(a, b)\). Một điểm \(K\) ở giữa đoạn thẳng này có thể được biểu diễn dưới dạng tham số. Giả sử \(K\) có tọa độ:
\[
K = \left(\frac{ta}{t+1}, \frac{tb}{t+1}\right) \quad (t \geq 0)
\]

4. **Tọa độ của trung điểm \(N\)** của đoạn thẳng \(KC\):
Tọa độ điểm \(C\) là \((a, b)\). Vậy trung điểm \(N\) có tọa độ:
\[
N = \left(\frac{\frac{ta}{t+1} + a}{2}, \frac{\frac{tb}{t+1} + b}{2}\right) = \left(\frac{(t+1)a}{2(t+1)}, \frac{(t+1)b}{2(t+1)}\right) = \left(\frac{a(t+1)}{2(t+1)}, \frac{b(t+1)}{2(t+1)}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b(t+1)}{2(t+1)}\right)
\]

5. **Tọa độ điểm \(D\)**: Tọa độ của điểm \(D\) là \((0, b)\).

6. **Vector \(DN\) và \(NM\)**:
- **Vector \(DN\)**:
\[
DN = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{b(t+1)}{2(t+1)} - b\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2(t+1)} - b\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b(1-2(t+1))}{2(t+1)}\right)
\]

- **Vector \(NM\)**:
\[
NM = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{b(t+1)}{2(t+1)} - 0\right) = \left(0, \frac{b(t+1)}{2(t+1)}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right)
\]

7. **Tính độ dài của các vector và góc**:
- Để có góc \(\angle DNM = 90^\circ\), tích vô hướng của \(DN\) và \(NM\) phải bằng 0:
\[
DN \cdot NM = \left(\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{b(1-2(t+1))}{2(t+1)}\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = 0
\]
Điều này sẽ xảy ra nếu \(b(1-2(t+1)) = 0\), tức là \(t = -\frac{1}{2}\) hoặc \(1\).

Do đó, với điều kiện \(CM \perp DN\), vậy \(\angle DNM = 90^\circ\) sẽ đúng.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng \(\angle DNM = 90^\circ\) cho hình chữ nhật ABCD với các điều kiện đã cho.