Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng phần theo yêu cầu:

### a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) hay không? Vì sao?

**Điểm B:**
- B là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d.
- Điểm A thuộc đường tròn (O), có nghĩa là OA = R (bán kính của đường tròn). Điểm B sẽ nằm ở vị trí đối xứng với A qua đường thẳng d, vì vậy, OB cũng bằng R. Do đó, điểm B cũng thuộc đường tròn (O).

**Điểm C:**
- C là điểm đối xứng với A qua O. Với A thuộc (O), ta có OA = R. Do đó OC cũng bằng R, nghĩa là C cũng thuộc (O).

**Điểm D:**
- D là điểm đối xứng với B qua O. Với B thuộc (O) (như đã chứng minh), ta có OB = R. Do đó OD cũng bằng R, dẫn đến việc D cũng thuộc (O).

**Kết luận:**
Ba điểm B, C và D đều thuộc đường tròn (O), vì tất cả đều có khoảng cách đến tâm O bằng bán kính R của đường tròn.

### b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc vuông.

- **Cạnh AB:** Là đoạn thẳng từ A đến B, được tạo ra bằng đối xứng qua đường thẳng d.
- **Cạnh AC:** Là đoạn thẳng từ A đến C, là đối xứng qua O, do đó có độ dài bằng nhau với cạnh BD.
- **Cạnh BC và AD:** Tương tự như vậy, với D là đối xứng của B qua O.

Vì A là điểm thuộc đường tròn và B, C, D đều được xác định thông qua các phép biến đổi đối xứng. Ta có:

- AB = CD (do tính chất đối xứng qua d).
- AC = BD (do tính chất đối xứng qua O).

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng mọi góc đều bằng 90 độ.

- Góc AOB: Vì A và B là đối xứng qua đường thẳng (d), góc AOB sẽ tạo với đường thẳng đó các góc vuông. Điều này đúng cho tất cả các cặp điểm đối xứng.

Kết luận: Các cạnh đối diện bằng nhau và mỗi góc giữa hai cạnh kề là 90 độ, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Để chứng minh rằng C và D là điểm đối xứng qua đường thẳng d, chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng d chia đoạn CD thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với d.

- Xét ba điểm A, B, C đều tại các vị trí trên đường tròn (O).
- D là điểm đối xứng với B qua O và C là điểm đối xứng với A qua O.
- Điều này có nghĩa là đường thẳng d cắt chính giữa đoạn CD, chứ không cần tính chất gì thêm về C và D, đồng thời khoảng cách từ C đến d bằng khoảng cách từ D đến d.

Kết luận: C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

### Tổng kết
- Ba điểm B, C, D đều thuộc đường tròn (O).
- Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
- C và D là đối xứng qua đường thẳng d.