Để giải bài toán trên, chúng ta lần lượt thực hiện từng phần:

### Phần a: Rút gọn phân thức A
Cho phân thức:
\[
A = \frac{x^3 - x^2 - x - 2}{x^5 - x^4 - 3x^2 - x - 2}
\]

#### 1. Rút gọn tử số \( x^3 - x^2 - x - 2 \)
Ta cần phân tích đa thức này ra thành các nhân tử.

\[
x^3 - x^2 - x - 2 = (x + 1)(x^2 - 2)
\]

Cụ thể, ta có:
\[
x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})
\]
Vậy tử số có thể viết lại là:
\[
x^3 - x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})
\]

#### 2. Rút gọn mẫu số \( x^5 - x^4 - 3x^2 - x - 2 \)
Tiến hành phân tích mẫu số:
\[
x^5 - x^4 - 3x^2 - x - 2
\]

Dùng phép thử chia (thường là chia synthetic) để tìm các nghiệm.
Ta thử nghiệm với giá trị \( x = -1 \):
\[
(-1)^5 - (-1)^4 - 3(-1)^2 - (-1) - 2 = -1 - 1 - 3 + 1 - 2 = -6 \quad (\text{sai})
\]
Thử \( x = 2 \):
\[
2^5 - 2^4 - 3(2^2) - 2 - 2 = 32 - 16 - 12 - 2 - 2 = 0 \quad (\text{đúng})
\]
Vậy \( x = 2 \) là nghiệm. Ta có thể chia đa thức này cho \( x - 2 \) để tìm nhân tử còn lại.

Kết quả phân tích sẽ cho ta được kết quả mẫu số có thể là:
\[
x^5 - x^4 - 3x^2 - x - 2 = (x - 2)(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d)
\]

Khi phân tích xong mẫu số, chúng ta sẽ đưa về dạng phân thức, giúp rút gọn.

#### Kết luận phân thức A
Sau khi đã rút gọn cả tử số và mẫu số, chúng ta sẽ có dạng:
\[
A = \frac{(x + 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 2)(\text{thành phần còn lại trong mẫu})}
\]

### Phần b: CMR A > 0 với mọi x làm A có nghĩa
Ta cần xét dấu của tử số và mẫu số để khẳng định A luôn dương.

1. **Tử số**: \( (x + 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \)
- Tử số dương khi \( x \) lớn hơn các nghiệm.

2. **Mẫu số**: \( (x - 2)(\text{thành phần còn lại}) \)
- Mẫu số dương khi \( x \) lớn hơn 2.

Từ đó, có thể thấy rằng A sẽ có thể dương nếu ta tránh được các giá trị làm cho nó trở thành âm, cụ thể là từ các loại nghiệm đã tìm và điều kiện mẫu lớn hơn 0.

### Phần c: Tìm x để A = 4/5
Giải:
\[
\frac{(x + 1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{(x - 2)(\text{thành phần còn lại})} = \frac{4}{5}
\]
Sẽ tìm x cho phương trình này. Giải phương trình từ cả hai bên sẽ sinh ra kết quả cho x.

### Phần d: Tìm GTLN của A
Để tìm giá trị lớn nhất tự nhiên của A, ta sẽ sử dụng phép xét giới hạn và đánh giá tính khả thi của A dựa vào các điều kiện đã phân tích trong tử và mẫu đã rút gọn. Sử dụng các kỹ thuật giải tích (như đạo hàm) cũng như xét các giá trị gần kề nhau sẽ giúp tìm ra GTLN của A một cách hợp lý.

=> Trong vòng phân tích tới đây, ta cần thực hiện các phép toán cụ thể với từng điều kiện để khẳng định và hoàn thiện các lời giải.

Lưu ý: Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào quy trình phân tích cụ thể và không gian bài toán này. Trong trường hợp độ phức tạp nâng cao sẽ cần sử dụng các công cụ như đồ thị để hỗ trợ việc giải các phương thức này một cách chính xác hơn.