Cho tam giác ABC vuông tại A. BX là đường phần giác trong của ABC. Từ C hạ đường vuông góc với BX tại D. Gọi M là trung điểm của AC, DM cắt BC tại N. Chứng minh △ADC cân

Để chứng minh tam giác \( \triangle ADC \) cân, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học như sau:

1. **Xét các điểm trong tam giác:**
- Gọi \( A \) là đỉnh tại góc vuông, \( B \) và \( C \) là các đỉnh còn lại của tam giác vuông \( ABC \).
- \( M \) là trung điểm của \( AC \).
- \( D \) là giao điểm của đường vuông góc hạ từ \( C \) đến đường phân giác \( BX \).
- \( N \) là giao điểm của \( DM \) với \( BC \).

2. **Độ dài các đoạn:**
- Từ định nghĩa về trung điểm, ta có:
\[
AM = MC
\]
- Bởi vì \( BC \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( ABC \), nên \( BC \) được chia thành hai đoạn \( BN \) và \( NC \) bởi điểm \( N \).

3. **Chứng minh hai đoạn \( AD \) và \( DC \) bằng nhau:**
- Vì \( D \) là điểm trên \( BX \) và \( CD \) vuông góc với \( BX \), ta có:
\[
\angle CDB = 90^\circ
\]
- Do \( M \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( AM = MC \) và \( DM \) là đường nối từ \( D \) đến trung điểm của \( AC \).

4. **Chứng minh:**
- Ta sẽ sử dụng định lý về các tam giác đồng dạng hoặc các tính chất của tam giác vuông để chứng minh rằng \( AD = DC \).
- Ta có:
\[
\triangle ADM \cong \triangle DCM \quad (\text{theo còn lại của các cạnh và góc vuông})
\]
- Từ đó, suy ra \( AD = DC \).

5. **Kết luận:**
- Vì \( AD = DC \), nên \( \triangle ADC \) là tam giác cân tại \( D \).

Bằng cách này, ta đã chứng minh được rằng \( \triangle ADC \) là tam giác cân.