Để giải bài toán này, trước tiên, ta biết rằng \( a^3 - b^3 \) có thể được phân tích như sau:

\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Từ đề bài, ta có:

\[
a^3 - b^3 = 3ab + 1
\]

Vì vậy,

\[
(a-b)(a^2 + ab + b^2) = 3ab + 1
\]

Ta đặt \( M = a - b \), do đó ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
M(a^2 + ab + b^2) = 3ab + 1
\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính toán \( a^2 + ab + b^2 \) theo \( M \). Từ \( a = b + M \), ta thay vào biểu thức \( a^2 + ab + b^2 \):

\[
a^2 = (b + M)^2 = b^2 + 2bM + M^2
\]
\[
ab = (b + M)b = b^2 + Mb
\]

Vậy,

\[
a^2 + ab + b^2 = (b^2 + 2bM + M^2) + (b^2 + Mb) + b^2 = 3b^2 + 2bM + M^2
\]

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

\[
M(3b^2 + 2bM + M^2) = 3ab + 1
\]

Bây giờ, thay \( ab = b(b + M) = b^2 + bM \):

\[
M(3b^2 + 2bM + M^2) = 3(b^2 + bM) + 1
\]
\[
M(3b^2 + 2bM + M^2) = 3b^2 + 3bM + 1
\]

Sắp xếp lại và phân tích phương trình này sẽ cho ta mối quan hệ giữa \( M \) và \( b \).

Tùy thuộc vào cách giải cụ thể cho \( b \) (có thể là một biến), ta có thể thuận lợi tìm giá trị của \( M \). Tuy nhiên, quá trình đơn giản thì có lẽ chúng ta cần tìm một cách tiếp cận khác hơn hoặc dự đoán ý nghĩa của \( M \).

Nếu cần, hãy cung cấp thêm thông tin về điều kiện của \( a \) và \( b \), hoặc các giá trị cụ thể để tìm ra đáp án chính xác cho giá trị của \( M = a - b \).