Để giải hằng đẳng thức \(5x + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\), trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức:

\[
(5x - 2x) + 5y^2 + 8xy + 2y + 2 = 0
\]

\[
3x + 5y^2 + 8xy + 2y + 2 = 0
\]

Tiếp theo, ta sẽ phân tích và tìm điều kiện để biểu thức này bằng 0. Do đây là một phương trình bậc hai theo biến \(y\), ta sẽ xem xét các hệ số của nó:

\[
5y^2 + (8x + 2)y + (3x + 2) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm thực theo \(y\), điều kiện cần thiết là định thức phải không âm. Ta tính định thức \(D\):

\[
D = (8x + 2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (3x + 2)
\]

\[
D = (64x^2 + 32x + 4) - (60x + 40)
\]

\[
D = 64x^2 - 28x - 36
\]

Để đảm bảo rằng phương trình có nghiệm thực, ta cần \(D \geq 0\):

\[
64x^2 - 28x - 36 \geq 0
\]

Giải bất phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-36)}}{2 \cdot 64}
\]

Tính giá trị \(D\) ở đây:

\[
D = 784 + 9216 = 10000
\]

Do đó:

\[
x = \frac{28 \pm 100}{128}
\]

Hai nghiệm là:

\[
x_1 = \frac{128}{128} = 1
\]
\[
x_2 = \frac{-72}{128} = -\frac{9}{16}
\]

Ta có thể thấy rằng \(D\) là một bậc hai, từ đó tìm ra các khoảng nghiệm:

\[
D = 64(x - 1)(x + \frac{9}{16}) \geq 0
\]

Phương trình bất phương trình này có nghiệm khi:

\[
x \leq -\frac{9}{16} \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1
\]

Vậy các giá trị \(x\) thỏa mãn phương trình sẽ là các giá trị \(x \in (-\infty, -\frac{9}{16}] \cup [1, +\infty)\). Sau đó, bạn có thể thay thế các giá trị \(x\) vào phương trình để tìm ra giá trị \(y\).