Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ áp dụng một số kiến thức về tam giác vuông và tính chất đường trung tuyến.

### a) Chứng minh tam giác \( IHA \) cân

1. **Định nghĩa trung điểm**: Điểm \( I \) là trung điểm của \( AB \) và điểm \( K \) là trung điểm của \( AC \).
2. **Tính độ dài**: Trong tam giác vuông \( ABC \), có:
- \( AI = IB \) (vì \( I \) là trung điểm của \( AB \))
- \( AK = KC \) (vì \( K \) là trung điểm của \( AC \))
3. **Đường cao**: Do \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \), nên ta có:
- Tam giác \( AHB \) và \( AHC \) đều vuông tại \( H \).
4. **Sử dụng định lý về đường trung tuyến**: Trong tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \) là đường trung tuyến, do đó, \( AH^2 = AI^2 + IH^2 \) và \( AK^2 = AH^2 + HK^2 \).
5. Qua các các đoạn, ta có tính chất đối xứng:
- Do đó, \( AI = AK \), và \( IH = IH \).
6. Kết luận: Từ đó, ta suy ra tam giác \( IHA \) cân (vì \( AI = IH \) và \( AH = IH \)).

### b) Chứng minh \( \angle IHK = 90^\circ \)

1. **Tam giác vuông**: \( AH \) vuông góc với \( BC \), dẫn đến việc \( AH \) là đường cao.
2. **Chỉ ra mối quan hệ**: Tam giác \( AHK \) có độ dài tang là chiều cao, do đó:
- Các góc \( \angle AHB \) và \( \angle AHC \) đều bằng \( 90^\circ \).
3. **Sử dụng định lý Pytago**: Ta có \( \angle IHK \) là góc giữa hai đường trung tuyến, và giữa chúng có các độ dài bằng nhau:
- Suy ra, \( \angle IHK \) sẽ vuông góc.
4. Kết luận: Do đó, \( \angle IHK = 90^\circ \).

Như vậy, đã chứng minh xong hai yêu cầu trong bài toán.