Cho hình bình hành ABCD. Lấy M thuộc DC sao cho DM = 1/3 DC.DB cắt AM tại I. Tính DI/DB

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình bình hành và tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( D \) là \( (0, 0) \).
- Gọi \( C \) là \( (a, 0) \).
- Gọi \( A \) là \( (0, b) \).
- Gọi \( B \) là \( (a, b) \).
- Điểm \( M \) theo như đề bài nằm trên đoạn \( DC \) với \( DM = \frac{1}{3} DC \). Có nghĩa là \( DM = \frac{1}{3} a \) và do đó \( CM = \frac{2}{3} a \). Kinh nghiệm cách lấy \( M \) sẽ có tọa độ \( M = \left(\frac{1}{3} a, 0\right) \).

2. **Phương trình các đường thẳng**:
- Đường thẳng \( DB \) có phương trình: \( y = \frac{b}{a}x \).
- Điểm \( A = (0, b) \) và \( M = \left(\frac{1}{3} a, 0\right) \) cho nên phương trình của đường thẳng \( AM \) sẽ được tính như sau:
- Tính hệ số góc của đường thẳng \( AM \):
\[
k_{AM} = \frac{0 - b}{\frac{1}{3}a - 0} = -\frac{3b}{a}
\]
- Phương trình của đường thẳng \( AM \):
\[
y - b = -\frac{3b}{a}(x - 0) \implies y = -\frac{3b}{a}x + b
\]

3. **Tìm điểm cắt**:
- Ta đặt phương trình đường thẳng \( DB \) và \( AM \) bằng nhau để tìm điểm giao nhau \( I \):
\[
\frac{b}{a}x = -\frac{3b}{a}x + b \implies \frac{b}{a}x + \frac{3b}{a}x = b \implies \frac{4b}{a}x = b
\]
\[
x = \frac{a}{4}
\]
- Thay \( x = \frac{a}{4} \) vào phương trình của \( DB \) để tìm \( y \):
\[
y = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{4} = \frac{b}{4}
\]

4. **Tọa độ điểm I**:
- Tọa độ điểm \( I \) là \( \left(\frac{a}{4}, \frac{b}{4}\right) \).

5. **Tính tỉ số \( DI \) và \( DB \)**:
- \( DI \) là khoảng cách từ \( D \) đến \( I \):
\[
DI = \sqrt{\left(\frac{a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{b^2}{16}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2}
\]
- \( DB \) là khoảng cách từ \( D \) đến \( B \):
\[
DB = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

6. **Tính tỉ lệ \( \frac{DI}{DB} \)**:
\[
\frac{DI}{DB} = \frac{\frac{1}{4}\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{4}
\]

Vậy tỷ số \( \frac{DI}{DB} = \frac{1}{4} \).