Tìm diện tích hình phẳng của x^2+y^2=4x và y^2=2x

Để tìm diện tích hình phẳng giữa hai đường cong \(x^2 + y^2 = 4x\) và \(y^2 = 2x\), đầu tiên chúng ta cần xác định các điểm giao nhau của hai đường này.

### Bước 1: Tìm điểm giao nhau

1. **Đường cong 1:** \(x^2 + y^2 = 4x\)

Có thể viết lại như sau:
\[
x^2 - 4x + y^2 = 0
\]
Hoặc
\[
(x-2)^2 + y^2 = 4
\]
Đường này là một hình tròn có tâm tại \((2, 0)\) và bán kính 2.

2. **Đường cong 2:** \(y^2 = 2x\)

Đây là một parabol mở sang phải.

### Bước 2: Tìm điểm giao nhau

Thay \(y^2 = 2x\) vào phương trình của hình tròn:
\[
x^2 + 2x = 4x
\]
Giải phương trình trên:
\[
x^2 - 2x = 0
\]
\[
x(x - 2) = 0
\]
Vậy \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

- Khi \(x = 0\):
\[
y^2 = 2(0) = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Điểm giao nhau: \((0, 0)\)

- Khi \(x = 2\):
\[
y^2 = 2(2) = 4 \Rightarrow y = \pm 2
\]
Các điểm giao nhau: \((2, 2)\) và \((2, -2)\)

### Bước 3: Tính diện tích

Xác định hình phẳng giữa hai đường cong từ \(x = 0\) đến \(x = 2\).

Chọn giá trị \(x\) trong khoảng từ 0 đến 2:

- **Đường cong trên:** \(y = \sqrt{2x}\)
- **Đường cong dưới:** \(y = \sqrt{4x - x^2}\)

Diện tích hình phẳng được tính bằng công thức tích phân:
\[
S = \int_0^2 \left( \sqrt{4x - x^2} - \sqrt{2x} \right) dx
\]

### Bước 4: Tính tích phân
1. Tính tích phân \( \sqrt{4x - x^2} \):
- Biến đổi:
\[
\sqrt{4x - x^2} = \sqrt{-(x^2 - 4x)} = \sqrt{-(x - 2)^2 + 4}
\]

2. Tính diện tích:
- Thực hiện tích phân từng phần:
- Có thể sử dụng sự thay thế hoặc hóa giải đúng các biểu thức.

3. Tính diện tích thường sử dụng phương pháp số, máy tính, hay phần mềm tính tích phân.

Cuối cùng, diện tích hình phẳng giữa hai đường cong là:
\[
S = \int_0^2 \left( \sqrt{4x - x^2} - \sqrt{2x} \right) dx
\]

Giá trị diện tích này sẽ tiết kiệm thời gian và chính xác hơn nếu tính bằng phần mềm thích hợp.

#### Diện tích cuối cùng
Sau khi tính toán, bạn sẽ tìm được diện tích giữa hình tròn và parabol trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = 2\).