Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và HE vuông góc với AC (E thuộc AC)

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu:

### Phần a:
**Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.**

1. **Các góc vuông:**
- Vì HE vuông góc với AC, nên ∠AHE = 90°.
- Vì HD vuông góc với AB, nên ∠AHD = 90°.

2. **Tính chất của tứ giác:**
- Hai cạnh AD và HE vuông góc với nhau, chứng tỏ rằng tứ giác ADHE có hai góc vuông.
- Tứ giác có hai góc vuông thì là hình chữ nhật.

Vậy, tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

---

### Phần b:
**Gọi F là điểm đối xứng với điểm B qua H và K là điểm đối xứng với điểm A qua H. Chứng minh tứ giác ABKF là hình thoi.**

1. **Tính chất điểm đối xứng:**
- F là điểm đối xứng với B qua H, nên HF = HB (1).
- K là điểm đối xứng với A qua H, nên HK = HA (2).

2. **Tính chất cạnh:**
- Từ (1) và (2), ta có AB = AF và BK = KF (vì H là trung điểm của AB và AF).
- Do đó, AB = BK và AF = KF.

3. **Khả năng song song:**
- Kết luận rằng tất cả các cạnh đối diện của tứ giác ABKF đều bằng nhau (AB = KF và AF = BK).

Vậy, tứ giác ABKF là hình thoi.

---

### Phần c:
**Chứng minh AF vuông góc với CK.**

1. **Khoảng cách:**
- Với điểm K là điểm đối xứng của A qua H, ta có rằng AK vuông góc với HC vì H là trung điểm và các đoạn thẳng đối xứng tạo góc vuông.

2. **Áp dụng tính chất hình thoi:**
- Trong hình thoi, các đường chéo vuông góc với nhau, do đó CK vuông góc với AF.

Vậy, ta có thể kết luận rằng AF vuông góc với CK.

### Kết luận
Các chứng minh trên đã thể hiện rõ rằng:
- Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
- Tứ giác ABKF là hình thoi.
- Đường AF vuông góc với CK.