Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy M và trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM = CN

Để chứng minh rằng \( MB \cdot AC = MC \cdot NA \), ta cần làm theo các bước sau:

1. **Thiết lập hệ trục tọa độ**:
Ta đặt \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c_x, c_y) \). Dễ dàng xác định được tọa độ các điểm.

2. **Xác định tọa độ điểm M và N**:
Do điểm \( M \) nằm trên tia đối của tia \( BA \) và \( N \) trên tia đối của tia \( CA \) với \( BM = CN \), ta có thể đặt \( M(-k, 0) \) và \( N(c_x + k, c_y) \), với \( k \) là một số dương sao cho \( BM = CN \).

3. **Áp dụng định nghĩa phân giác**:
- Tia phân giác \( BH \) chia đoạn \( MC \) và \( MB \) theo tỉ lệ \( MB:MC \).
- Tia phân giác \( CK \) chia đoạn \( BN \) và \( CN \) cũng theo tỉ lệ một cách tương tự.

4. **Sử dụng định lý phân giác**:
Theo định lý phân giác:
\[
\frac{MB}{MC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{và} \quad \frac{BC}{BN} = \frac{CN}{BC}
\]

5. **Một số quan hệ tỷ lệ**:
- Do \( BM = CN \) nên ta có thể coi tỉ lệ này được bảo toàn.
- Sử dụng điều này chúng ta có thể thiết lập quan hệ giữa các đoạn thẳng.

6. **Tính toán**:
Có thể thay thế các tỉ số vào một hệ phương trình rồi giải để tìm ra giá trị mong muốn \( MB \cdot AC = MC \cdot NA \).

Chứng minh tổng quát qua các bước như trên, đồng thời chứng minh rằng các đoạn thẳng \( MB, MC, AC \) và \( NA \) thực sự thỏa mãn.

Kết quả cuối cùng là \( MB \cdot AC = MC \cdot NA \) mà chúng ta cần chứng minh.