Để giải bài toán này, ta sẽ xét từng điều kiện:

### a) \(|x| + |y| = 20\)

Để tìm số cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện này, ta có thể coi \(|x|\) và \(|y|\) như là hai biến không âm \(a\) và \(b\) sao cho \(a + b = 20\), với \(a = |x|\) và \(b = |y|\).

- Các cặp \((a, b)\) có thể có là:
- \( (0, 20), (1, 19), (2, 18), \ldots, (20, 0) \)

Sẽ có 21 cặp không âm \((a, b)\).

Mỗi cặp \((a, b)\) tương ứng với các giá trị của \(x\) và \(y\) như sau:

- Nếu \(a = 0\), \(x = 0\) và \(y\) có thể nhận hai giá trị \(20\) hoặc \(-20\).
- Nếu \(a > 0\), \(x\) có thể nhận giá trị \(a\) hoặc \(-a\) và \(y\) có thể nhận giá trị \(b\) hoặc \(-b\).

Với mỗi cặp \((a, b)\) (trừ trường hợp \(a = 0\) và \(b = 0\)), ta có \(2\) lựa chọn cho \(x\) và \(2\) lựa chọn cho \(y\):

- Tổng số cặp cho mỗi cặp không âm sẽ là \(2 \times 2 = 4\).

Tuy nhiên, với cặp \((0, 20)\) và \((20, 0)\):
- Có 1 cặp cho \((0, 20)\): \((0, 20), (0, -20)\) -> 2 cặp.
- Có 1 cặp cho \((20, 0)\): \((20, 0), (-20, 0)\) -> 2 cặp.

Tổng số cặp cho \( (a, b) \) là:
- \(2 + 4 \times 19 = 78\).

Vậy tổng số cặp để thỏa mãn điều kiện a) là **80 cặp**.

### b) \(|x| + |y| < 20\)

Để tìm các cặp số nguyên sao cho \(|x| + |y| < 20\), ta xem xét tất cả các giá trị có thể của \(|x|\) và \(|y|\).

Nếu \(|x| = a\), thì \(|y| < 20 - a\). Các giá trị của \(a\) có thể từ \(0\) đến \(19\):

- Khi \(a = 0\): \(|y| < 20\) có \(20\) giá trị nguyên (từ \(-19\) đến \(19\)).
- Khi \(a = 1\): \(|y| < 19\) có \(19\) giá trị nguyên.
- ...
- Khi \(a = 19\): \(|y| < 1\) chỉ có \(1\) giá trị nguyên \((0)\).

Bây giờ tính tổng số cặp cho từng giá trị \(a\):

- Tổng giá trị cho \(a = 0\) đến \(19\) sẽ là:
- \(20 + 19 + 18 + ... + 1 = \frac{20 \times 21}{2} = 210\).

Mỗi cặp \((a, b)\) có thể có \(2\) lựa chọn cho \(x\) và \(2\) cho \(y\):

Tổng số cặp: \(210 \times 4 = 840\).

Vậy tổng số cặp để thỏa mãn điều kiện b) là **840 cặp**.

### Kết luận:
- Câu a) có **80 cặp**.
- Câu b) có **840 cặp**.