Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện theo hai phần a và b.

### a) Chứng minh 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

Ta cần chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. Để làm điều này, ta sẽ xem xét các góc liên quan đến các đường cao BD và CE.

1. **Xác định các góc**:
- Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường cao BD và CE.
- Điểm \(D\) nằm trên cạnh AC, và điểm \(E\) nằm trên cạnh AB.

2. **Góc đánh giá**:
- Vì BD là đường cao, nên \( \angle ABC = \angle OBD \) (góc bên trong của tam giác ABC).
- Tương tự, vì CE cũng là đường cao, nên \( \angle ACB = \angle OCE \).

3. **Tổng quát hóa**:
- Trong tam giác ABC, ta có \( \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \).
- Từ đó, ta có \( \angle ABD + \angle ACD + \angle OBC + \angle OCE = 180^\circ \).

4. **Định lý về đường tròn**:
- Từ việc trên, ta thấy \( \angle BOC = \angle BDC + \angle CEB = 180^\circ - \angle A \).
- Do đó, 4 điểm B, C, D, E thỏa mãn điều kiện để thuộc một đường tròn, tức là: đối diện của cặp góc này là bù nhau.

### b) Chứng minh \( DE < BC \)

Để chứng minh \( DE < BC \), ta có thể sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác.

1. **Tính chất của đường cao**:
- Đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC sẽ tạo thành hai tam giác nhỏ hơn, bao gồm \( \triangle ABD \) và \( \triangle AEC \).
- Từ định nghĩa về độ dài đường cao, chúng ta có thể thấy rằng \( DE \) là đoạn thẳng nối hai chân đường cao tương ứng.

2. **So sánh chiều dài**:
- Điểm D và E nằm trên BC, với D và E là chân các đường cao từ A đến BC.
- Từ đường vẽ BD và CE, ta có thể lập luận rằng chiều dài của đoạn thẳng DE sẽ luôn nhỏ hơn chiều dài của đoạn BC - vì độ cao từ A đến cạnh BC luôn cắt BC tại điểm D và E, và không thể kéo dài ra ngoài chiều dài của BC.

Do đó, ta có \( DE < BC \).

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh rằng các điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn và đồng thời chứng minh rằng \( DE < BC \).