Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý về các tam giác và tính chất của trung điểm:

### a) Chứng minh \( \Delta AED = \Delta CEF \)

1. **Định nghĩa điểm:** D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC.
2. **Suy ra:** AD = DB và AE = EC.
3. **Chia tam giác:** Xét tam giác AED và CEF, ta có:
- AD = DB (từ D là trung điểm)
- AE = EC (từ E là trung điểm)
- DE = EF (vì E là trung điểm của DF)
4. **Kết luận:** Suy ra \( \Delta AED \cong \Delta CEF \) (SAS).

---

### b) Chứng minh \( DB = CF \)

1. **D từ trung điểm:** D là trung điểm của AB, suy ra DB = DA.
2. **E là trung điểm:** E là trung điểm của AC, suy ra EC = EA.
3. **Từ phần a:** Vì \( D \), \( E \) là trung điểm, nên \( DB = CF \).

---

### c) Chứng minh \( \Delta BDC = \Delta FCD \)

1. **Tam giác chung:** Cả hai tam giác có cạnh CD chung.
2. **Sử dụng kết quả trước:** Ta đã chứng minh \( DB = CF \) và cả hai cạnh khác đều bằng nhau do chúng là trung điểm.
3. **Kết luận:** Suy ra \( \Delta BDC \cong \Delta FCD \) (SAS).

---

### d) Chứng minh \( BC = 2DE \)

1. **Sử dụng công thức về chiều dài đoạn thẳng:** Ta biết D và E là trung điểm, suy ra DE = 1/2 BC.
2. **Kết luận:** Suy ra \( BC = 2DE \).

---

Vậy ta đã hoàn thành các chứng minh cần thiết.