Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần của bài 3 và bài 4.

### Bài 3:
- **a)** Chứng minh \( \triangle BMA \cong \triangle BMN \):
- Ta có \( BA = BN \) (theo giả thiết).
- Xét góc MBT (\( \angle BMA = \angle BMN \)) vì tia BM là tia phân giác.
- Do đó, theo tiêu chuẩn \( \mathrm{c.a.c} \) (cạnh-góc-cạnh), \( \triangle BMA \cong \triangle BMN \).

- **b)** Chứng minh \( MA = MN \):
- Do \( \triangle BMA \cong \triangle BMN \), ta có \( MA = MN \) (cạnh đối diện trong hai tam giác bằng nhau).

- **c)** Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), AH cắt BM tại K:
- Dễ dàng chứng minh \( AH \perp BC \) và \( AH \parallel MN \) bởi vì cả hai đều song song với BM và cạnh BC là cạnh huyền trong tam giác vuông.

- **d)** Trên tia đối của HA lấy điểm D sao cho \( HA = HD \). Chứng minh \( AB = BD \) và \( CD \perp BD \):
- Ta có \( HA = HD \) nên \( H \) là trung điểm của \( AD \) và \( AB = BD \) do tính đối xứng.
- \( CD \perp BD \) vì AH là tia phân giác và hình thành góc vuông với BD.

### Bài 4:
- **a)** \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \):
- Có \( AB = AC \) (cạnh chung), \( BD = CE \) (theo giả thiết).
- Xét góc \( \angle ADB = \angle AEC \) (cùng bằng vì đối diện).

- **b)** Chứng minh \( \triangle ABE \cong \triangle ACE \):
- Ta đã chứng minh rằng \( AB = AC \), và \( AE = AE \) giúp ta đạt được tình huống \( \mathrm{c.a.c} \).

- **c)** \( AM \) là tia phân giác của góc \( DAE \):
- Với M là trung điểm của BC và D, E là điểm tương ứng đối diện nhau qua AB, ta có rằng AM là tia phân giác.

Khi làm bài, cần chú ý đến các tính chất của các tam giác vuông, các tia phân giác và các đoạn thẳng đồng dạng để chứng minh.