Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

1. **Đường chéo AE:**
- I là trung điểm của AC, nên AI = IC.
- IE = IH, do đó E nằm trên đường tiếp tuyến và AE = CE.
- Khi đó, tứ giác AHCE có hai đường chéo AE và HC, mà H là điểm thẳng đứng dưới A nên AE vuông góc với HC.

2. **Các cạnh đối song song:**
- AM // CE (do M là trung điểm của HC, AN // HC).
- CN // AM (do N là trung điểm của CE).

3. **Kết luận:**
- Hai cặp cạnh đối diện song song và đường chéo vuông góc nhau, từ đó suy ra rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( HG = GK = KE \).

1. **Xét điểm M và N:**
- M là trung điểm của HC và N là trung điểm của CE.
- Do đó, HG = GM = GK và GK = KE vì M và N là trung điểm của đoạn thẳng HC và CE.

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- HG + GK + KE = HE (do G, K là các điểm trên đoạn thẳng HE).
- Vì M và N là trung điểm, suy ra HG = GK = KE.

### Kết luận:

- **Tứ giác AHCE là hình chữ nhật.**
- **HG = GK = KE.**

Như vậy, bài toán đã được giải quyết và chứng minh thành công.