Để chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và đặc điểm của tam giác cân.

1. **Xác định các điểm**:
- Tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC.
- D là một điểm trên BC, và đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M và AB tại N.
- H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN.

2. **Chứng minh hai cạnh AK và DH vuông góc**:
- Do AD là đường vuông góc với BC, nên AM và AN cũng vuông góc với BC.
- H là trung điểm của BC, tức là BH = HC.
- K là trung điểm của MN. Do đó, MK và NK cũng vuông góc với BC.

3. **Chứng minh rằng AK = DH**:
- Bởi vì tứ giác AKDH là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng độ dài AK = DH.
- Do BH = HC, và M, N nằm trên AB và AC, trong tam giác cân, ta có AM = AN.
- K là trung điểm của MN, nên MK = NK. Vậy HA = AK và DH = MK.

4. **Kết luận**:
- Vì AK vuông góc với DH, và AK = DH, tứ giác AKDH thỏa mãn điều kiện của một hình chữ nhật (có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau).

=> Từ các lập luận trên, ta kết luận rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật.