Để chứng minh yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \(\Delta ADM = \Delta BDN\).

1. **Cạnh chung:**
- Cạnh \(AM = BN\) (theo giả thiết).

2. **Cạnh \(AD = BC\):**
- Bởi vì ABCD là hình thoi, các cạnh đối diện bằng nhau, nên \(AD = BC\).

3. **Cạnh \(AB = BD\):**
- Đây là điều đã cho trong giả thiết \(AB = BD\).

4. **Góc tương ứng:**
- Góc \(ADM = BDN\) là góc ở tại đỉnh M và N, do \(AM\) và \(BN\) là hai đoạn thẳng vuông góc với \(AD\) và \(BD\).

Do đó, theo tiêu chuẩn của định lý về hai tam giác bằng nhau (Side-Angle-Side - S.A.S), ta có:

\[
\Delta ADM \cong \Delta BDN
\]

### b) Chứng minh \(\Delta MDN\) là tam giác đều.

1. **Cạnh \(MD = DN\):**
- Ta có \(AD = BC\) và từ đó ghép lại hai đoạn thẳng \(AM = BN\) và các cạnh này là bằng nhau, dẫn đến \(MD = DN\).

2. **Góc \(MDN = MND\):**
- Vì \(\Delta ADM \cong \Delta BDN\), các góc tương ứng cũng bằng nhau, tức là:
\[
\angle MDN = \angle MND
\]

3. **Từ những điều trên, chúng ta có:**
- \(MD = DN\)
- \(MND = MDN\)

Như vậy, với điều kiện thuật ngữ trên, tam giác \(MDN\) là tam giác đều.

Kết luận: \(\Delta MDN\) là tam giác đều.