Để giải phương trình bạn đã nêu, ta sẽ bắt đầu từ phương trình như sau:

\[
125:5^x + 26 = 2 \cdot 5^2 + 2023^0
\]

Bước 1: Tính các giá trị hằng số.
- \(2023^0 = 1\).
- \(5^2 = 25\), do đó \(2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50\).

Bây giờ phương trình trở thành:

\[
125:5^x + 26 = 50 + 1
\]

Bước 2: Tính tổng bên phải:

\[
125:5^x + 26 = 51
\]

Bước 3: Chuyển 26 sang bên phải:

\[
125:5^x = 51 - 26
\]

Tính toán:

\[
125:5^x = 25
\]

Bước 4: Chuyển đổi dấu ":" thành phép chia:

\[
\frac{125}{5^x} = 25
\]

Bước 5: Nhân cả hai vế với \(5^x\):

\[
125 = 25 \cdot 5^x
\]

Bước 6: Ta có thể viết \(125\) là \(5^3\) và \(25\) là \(5^2\):

\[
5^3 = 5^2 \cdot 5^x
\]

Bước 7: Chia cả hai bên cho \(5^2\):

\[
5^1 = 5^x \quad \Rightarrow \quad 5 = 5^x
\]

Bước 8: Điều này dẫn đến:

\[
x = 1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{1}
\]